Question

19．已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．
（1）求證：AN=DC．
（2）若AB⊥DC，試判斷四邊形ADCN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）先平行線的性質得出∠DAC=∠NCA，再利用ASA判定△AMD≌△CMN，即可AD=CN，進而得出四邊形ADCN是平行四邊形，即可得出CD=AN．
（2）由（1）知四邊形ADCN是平行四邊形，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得出結論．

解答 （1）證明：如圖，∵AB∥CN，
∴∠DAC=∠NCA．
在△AMD和△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠NCA}\\{AM=CM}\\{∠AMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA）．
∴MD=MN．
∵MA=MC，
∴四邊形ADCN是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
∴CD=AN，

（2）四邊形ADCN是矩形，
理由：由（1）知，四邊形ADCN是平行四邊形，
∵AB⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCN是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定，解（1）的關鍵是判斷出△AMD≌△CMN，解（2）的關鍵是熟練掌握矩形的判斷方法，是一道基礎題．