Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，BC是斜邊，AD∥BC，BD交AC于點E且BD=BC．求證：CE=CD．

Answer 1

考點：等腰直角三角形,含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：過D作BC的垂線交BC于M點，過A作BC的垂線交BC于N點，因此AN∥DM，因為AD∥BC，所以DM=AN，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出BC=2AN=2DM，即BD=2DM，角DMB為直角，所以∠DBC=30°，求出∠DEC=75°，∠BDC=75°，即可得出答案．

解答：證明：
過D作BC的垂線交BC于M點，過A作BC的垂線交BC于N點，
則AN∥DM，
∵AD∥BC，
∴四邊形ANMD是矩形，
∴DM=AN，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=2AN=2DM，
∵BD=BC，
∴BD=2DM，
∵∠DMB為直角，
∴∠DBC=30°，
∴∠DEC=45°+30°=75°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=

1

2

（180°-∠DBC）=

1

2

（180-30）=75°，
∴∠DEC=∠EDC，
∴CE=CD．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應用，綜合性比較強，有一定的難度．