Question

13．如圖，在正方形ABCD的邊的折線B-C-D上取一點(diǎn)P，P不與B、C、D三點(diǎn)重合，作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為E，連接BE，DE，直線DE交直線AP于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若P在線段BC上，依題意補(bǔ)全圖1；
（2）如圖1，若∠PAB=25°，求∠ADF的度數(shù)；
（3）如圖2，若P在線段CD上，請用等式喪示線段AD，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形即可．
（2）只要證明AE=AD，求出∠DAE，根據(jù)∠ADF=$\frac{1}{2}$（180°-∠DAE）計(jì)算即可．
（3）結(jié)論：2AD²=EF²+DF²．只要證明△BDF是直角三角形即可解決問題．

解答 解：（1）補(bǔ)全的圖如圖1所示，


（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AB=AE，
∴AE=AD，
∵∠PAB=∠PAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-45°=45°，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-∠DAE）=67.5°．

（3）結(jié)論：2AD²=EF²+DF²．
理由：如圖2中，連接BF、BD，BF與CD交于點(diǎn)K．

∵E、B關(guān)于AF對稱，
∴∠ABF=∠AEF，EF=BF，
∵AE=AB=AD，
∴∠AEF=∠ADE=∠ABF，
∵∠ADC=∠ABC=∠C=90°，
∴∠CDF+∠ADE=90°，∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠CDF，
∵∠CKB=∠DKF，
∴∠DFK=∠C=90°，
在Rt△DBF中，BD²=BF²+DF²，
∵DB²=2AD²，
∴2AD²=EF²+DF²．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．