Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，m+4），點C（5m+3，0）在x軸的正半軸上，現(xiàn)將點C向左平移4單位長度再向上平移7個單位長度得到對應點B（7m-7，n）．
（1）求m，n的值；
（2）若點P從點C出發(fā)以每秒2個單位長度/秒的速度沿CO方向移動，同時點Q從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿OA方向移動，設移動的時間為t秒（0＜t＜7），四邊形OPBA與△OQB的面積分別記為S₁，S₂．是否存在一段時間，使S₁＜2S₂？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點C向左平移4單位長度再向上平移7個單位長度得到對應點B，列方程組解出即可；
（2）先根據(jù)動點P、Q的速度表示出路程分別為：2t、t，再根據(jù)面積公式表示出S₁和S₂，代入S₁＜2S₂列不等式求t的取值范圍，并與0＜t＜7相結合得出t的取值．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{n=7}\\{5m+3-（7m-7）=4}\end{array}\right.$
解得：m=3，n=7，
（2）存在，如圖，
由（1）得：A（0，7），B（14，7），C（18，0），
由題意得：PC=2t，OQ=t，則OP=18-2t，
S₁=$\frac{1}{2}$（AB+OP）×OA=$\frac{1}{2}$×（14+18-2t）×7=-7t+112，
${S_2}=\frac{1}{2}t×14$=7t，
∵要滿足S₁＜2S₂，
∴-7t+112＜2×7t，
t＞$\frac{16}{3}$，
又∵0＜t＜7，
∴當$\frac{16}{3}$＜t＜7時，S₁＜2S₂．

點評 本題是幾何變換的綜合題，考查了點的坐標與平移的關系，還考查了動點在運動過程中所形成的圖形面積問題，此類題的解題思路為：先表示動點的路程，再根據(jù)圖形形狀直接或間接利用和、差表示圖形面積．