Question

13．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，取邊AB的中點(diǎn)G，連接EG．
（1）猜想：△AGE與△ECF全等嗎？線段EG和CF的長(zhǎng)度相等嗎？
（2）將△ECF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)?jiān)趫D中直接畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并指出旋轉(zhuǎn)后CF與EG的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）G、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，則∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余關(guān)系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，根據(jù)ASA可證△AGE≌△ECF；
（2）先將△ECF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得△EMA，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，可得∠MAE=∠GEA，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)后CF與EG互相平行．

解答 解：（1）△AGE與△ECF全等，線段EG和CF的長(zhǎng)度相等．
∵正方形ABCD中，點(diǎn)G，E為邊AB、BC中點(diǎn)，
∴AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF為正方形外角平分線，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
∵在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠ECF}\\{AG=CE}\\{∠GAE=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴EG=FC；

（2）如圖，將△ECF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后可得△EMA，

由旋轉(zhuǎn)得，∠CFE=∠MAE，
由△AGE≌△ECF可得，∠CFE=∠GEA，
∴∠MAE=∠GEA，
∴AM∥GE，即旋轉(zhuǎn)后CF與EG互相平行．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．