Question

5．在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，3）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按這樣的規(guī)律進行下去，第2016個正方形的面積是（　�。�

• A． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³⁰
• B． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³¹
• C． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³²
• D． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³³

Answer 1

分析 先求出正方形ABCD的邊長和面積，再求出第二個正方形A₁B₁C₁C的面積，得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求出第2016個正方形的面積．

解答 解：∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{10}$）²=10，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}$=$\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴CA₁=$\sqrt{10}$+$\frac{\sqrt{10}}{3}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴正方形A₁B₁C₁C的面積=（$\frac{4\sqrt{10}}{3}$）²=10×（$\frac{4}{3}$）²，…，第n個正方形的面積為10×（$\frac{4}{3}$）²ⁿ
∴第2016個正方形的面積為10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰³²；
故選C．

點評 本題考查了正方形的性質以及坐標與圖形性質；通過求出正方形ABCD和正方形A₁B₁C₁C的面積得出規(guī)律是解決問題的關鍵．