Question

17．已知P（a，y₁），Q（1，y₂）是拋物線y=kx²+（2k+1）x+2（k是不等于0的常數(shù)）上的兩點(diǎn)
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0總有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，
①求拋物線y=kx²+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出此條拋物線的草圖；
②若y₁＞y₂，請結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算△的值，根據(jù)△≥0可得結(jié)論；
（2）①先將k=1代入得：y=x²+3x+2，令y=0可以計(jì)算拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出拋物線；
②根據(jù)圖象找到Q的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得a的取值．

解答 解：（1）kx²+（2k+1）x+2=0，
△=（2k+1）²-4k×2=4k²+4k+1-8k=4k²-4k+1=（2k-1）²≥0，
∴無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0總有實(shí)數(shù)根；
（2）①當(dāng)k=1時(shí)，y=kx²+（2k+1）x+2=x²+3x+2，
當(dāng)y=0時(shí)，x²+3x+2=0，
（x+1）（x+2）=0，
x₁=-1，x₂=-2，
∴拋物線y=kx²+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2，0）、（-1，0），
拋物線如圖所示，
②y=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的對稱軸是：x=-$\frac{3}{2}$
由對稱性得：點(diǎn)Q關(guān)于拋物線對稱的對稱點(diǎn)A（-4，y₂）
∵P（a，y₁），Q（1，y₂）
∴若y₁＞y₂，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜-4或a＞1．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)式、對稱性、畫二次函數(shù)的圖象（五點(diǎn)法），本題雖然用到的知識點(diǎn)較多，但相對比較基礎(chǔ)，難度不大，最后一問可以利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．