Question

【題目】定義：有一組對邊與一條對角線均相等的四邊形為對等四邊形，這條對角線又稱對等線．

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠C＝∠BDC，E為AB的中點，DE⊥AB．求證：四邊形ABCD是對等四邊形．

（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的對等四邊形ABCD，使BD是對等線，C，D在格點上．

（3）如圖3，在圖（1）的條件下，過點E作AD的平行線交BD，BC于點F，G，連結(jié)DG，若DG⊥EG，DG＝2，AB＝5，求對等線BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BD＝．

【解析】

（1）先說明∠C=∠BDC，證得BC=BD，然后由等腰三角形的性質(zhì)得到BD=AD，即可證明；

（2）作A B的垂直平分線與方格紙上的格點的交點即為點D，再以點B為圓心、以BD長為半徑畫圓，圓與方格紙上的格點的交點即為點C，連接AD、BC、CD，則AD=BC=BD即可完成作圖；

（3）過點E作EH⊥AD于H，先證得四邊形DGEH是矩形，得出EH=DG=2；然后再求出AE的長；，S△ADE=S△BDE，設(shè)DE=x，A D=BD=y，然后再運用勾股定理和三角形的面積公式列出方程組求解即可．

（1）證明：∵∠C＝∠BDC，

∴BC＝BD，

∵E為AB的中點，DE⊥AB，

∴BD＝AD，

∴BC＝AD＝BD，

∴四邊形ABCD是對等四邊形；

（2）解：有兩種畫法：

作AB的垂直平分線與方格紙上的格點的交點即為點D，再以點B為圓心、以BD長為半徑畫圓，圓與方格紙上的格點的交點即為點C，連接AD、BC、CD，則AD＝BC＝BD，如圖2﹣1所示；

（3）解：過點E作EH⊥AD于H，如圖3所示：

則∠EHD＝90°，

∵EG∥AD，DG⊥EG，

∴∠EGD＝∠HDG＝90°，

∴四邊形DGEH是矩形，

∴EH＝DG＝2，

∵E為AB的中點，AB＝5，

∴AE＝BE＝AB＝，S△ADE＝S△BDE，

設(shè)DE＝x，AD＝BD＝y，

則S△ADE＝EHAD＝×2×y＝y，S△BDE＝BEDE＝××x＝x，

∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，

∴BD2＝BE2+DE2，即y2＝（）2+x2，

∴，

解得：

∴BD＝．