Question

7．如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，試探究線段BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 BE²+CF²=EF²，可延長FD至P，使DP=DF，連接EP，連接BP，證明△CFD≌BPD，進(jìn)而在Rt△PBE中，由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：BE²+CF²=EF²；
理由：延長FD至P，使DP=DF，連接EP，BP，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△CDF和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠CDF=∠BDP}\\{DF=DP}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BPD（SAS），
∴CF=BP，∠C=∠PBD，
∵∠A=90°，
∴∠ABP=∠ABC+∠DBP=∠ABC+∠C=180°-90°=90°，
∵DE⊥DF，DF=DP，
∴EF=FP（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等），
在Rt△BEP中，由勾股定理得：BE²+BP²=EP²=EF²，
即：BE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．