Question

5．連續(xù)整數(shù)之間有許多神奇的關(guān)系，
如：3²+4²=5²，這表明三個(gè)連續(xù)整數(shù)中較小兩個(gè)數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，稱這樣的正整數(shù)組為“奇幻數(shù)組”，進(jìn)而推廣：設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)為a，b，c（a＜b＜c）
若a²+b²=c²，則稱這樣的正整數(shù)組為“奇幻數(shù)組”；
若a²+b²＜c²，則稱這樣的正整數(shù)組為“魔幻數(shù)組”；
若a²+b²＞c²，則稱這樣的正整數(shù)組為“夢(mèng)幻數(shù)組”．
（1）若有一組正整數(shù)組為“魔幻數(shù)組”，寫出所有的“魔幻數(shù)組”；
（2）現(xiàn)有幾組“科幻數(shù)組”具有下面的特征：
若有3個(gè)連續(xù)整數(shù)：$\frac{{3}^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}}{25}$=2；
若有5個(gè)連續(xù)整數(shù)：$\frac{1{0}^{2}+1{1}^{2}+1{2}^{2}+1{3}^{2}+1{4}^{2}}{365}$=2；
若有7個(gè)連續(xù)整數(shù)：$\frac{2{1}^{2}+2{2}^{2}+2{3}^{2}+2{4}^{2}+2{5}^{2}+2{6}^{2}+2{7}^{2}}{2030}$=2；
…
由此獲得啟發(fā)，若存在n（7＜n＜11）個(gè)連續(xù)正整數(shù)也滿足上述規(guī)律，求這n個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“魔幻數(shù)組”的定義，找出所有的“魔幻數(shù)組”即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)規(guī)律找出n=9，設(shè)出這9個(gè)數(shù)，再根據(jù)“科幻數(shù)組”的特征找出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）1，2，3及2，3，4．
（2）由已知可得：
3²+4²=5²，10²+11²+12²=13²+14²，21²+22²+23²+24²=25²+26²+27²，…
故可知n=9，可設(shè)這9個(gè)數(shù)為m-4，m-3，m-2，m-1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，則有：
（m-4）²+（m-3）²+（m-2）²+（m-1）²+m²=（m+1）²+（m+2）²+（m+3）²+（m+4）²，
整理得：m²-40m=0，由題意m不為0，故m=40，
∴這9個(gè)數(shù)為36，37，38，39，40，41，42，43，44．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的應(yīng)用，根據(jù)新定義的意義找出方程是解題的關(guān)鍵．