Question

11．如圖，△ABC中，AB=AC，F(xiàn)為BC的中點，D為CA延長線上一點，∠DFE=∠B．
（1）求證：△CDF∽△BFE；
（2）若EF∥CD，求證：2CF²=AC•CD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠B，證得△CDF∽△BFE；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，等量代換得到∠FDC=∠C，推出△CDF∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，
∴∠EFB=∠FDC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴△CDF∽△BFE；

（2）解：∵EF∥CD，
∴∠EFD=∠FDC，
∵∠B=∠C，∠FDC=∠B
∴∠FDC=∠C=∠B，
∴△CDF∽△BCA，
∴$\frac{AC}{FD}=\frac{BC}{CD}$，
∵BC=2CF，DF=CF，
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{2CF}{CD}$，
∴2CF²=AC•CD．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．