Question

6．在△ABC與△DEF中，點E與AC的中點重合，∠ABC+∠DEF=180°，繞點E旋轉△DEF，使ED、EF分別與AB、BC相交于點M，N．
（1）如圖1，如果AB=BC，且∠ABC=90°，那么線段EM與EN有何數(shù)量關系？請直接寫出結論，并說明理由．
（2）如圖2，如果AB=BC，那么（1）中的結論是否還成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形的內角和為360°可以推出∠HEM=∠GEN，由等腰三角形的三線合一及角平分線的性質可以推出EH=EG，從而可以證到△HEM≌△GEN，進而有EM=EG．
（2）借鑒（1）的證明方法同樣可以證到EM=EG．

解答 解：（1）EM=EN．
證明：過點E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如圖1所示．
則∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，點E為AC中點，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEM=∠GEN}\\{EH=EG}\\{∠EHM=∠EGN}\end{array}\right.$，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．
證明：過點E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如圖2所示．
則∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，點E為AC中點，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEM=∠GEN}\\{EH=EG}\\{∠EHM=∠EGN}\end{array}\right.$，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

點評 本題通過圖形的變換，考查了等腰三角形的性質、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、四邊形的內角和等知識，作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．