Question

2．九年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數(shù)）的售價(jià)與銷售的相關(guān)信息如圖，已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，設(shè)該商品的售價(jià)為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤(rùn)為W（單位：元）．

時(shí)間x（天）	1	30	60	90
每天銷售量 p（件）	198	140	80	20

（1）售價(jià)y（元）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式是$y=\left\{\begin{array}{l}x+40（{1≤x≤50，且x為整數(shù)}）\\ 90（{50≤x≤90，且x為整數(shù)}）\end{array}\right.$；
（2）求W與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)1≤x≤50時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=90；
（2）由（1）和結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)銷售利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量即可得出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問(wèn)題．當(dāng)1≤x≤50時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)W的最大值；當(dāng)50≤x≤90時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)W的最大值，兩個(gè)最大值作比較即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)1≤x≤50時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
將（0，40）、（50，90）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=40}\\{50k+b=90}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=40}\end{array}\right.$，
∴此時(shí)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40；
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=90．
∴商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為$y=\left\{\begin{array}{l}x+40（{1≤x≤50，且x為整數(shù)}）\\ 90（{50≤x≤90，且x為整數(shù)}）\end{array}\right.$，
故答案為：$y=\left\{\begin{array}{l}x+40（{1≤x≤50，且x為整數(shù)}）\\ 90（{50≤x≤90，且x為整數(shù)}）\end{array}\right.$；

（2）由數(shù)據(jù)可猜測(cè)：每天的銷售量p與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系
設(shè)p=mx+n（m、n為常數(shù)，且m≠0），
∵p=mx+n過(guò)點(diǎn)（60，80）、（30，140），
∴$\left\{\begin{array}{l}60m+n=80\\ 30m+n=140\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=200\end{array}\right.$，
∴p=-2x+200，
將（1，198）、（90，20）代入，符合關(guān)系式
∴p=-2x+200（1≤x≤90，且x為整數(shù)），
當(dāng)1≤x≤50時(shí)，W=（y-30）•p=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000；
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，W=（90-30）（-2x+200）=-120x+12000
綜上，每天的銷售利潤(rùn)W與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為$W=\left\{\begin{array}{l}-2x+180x+2000（{1≤x≤50，且x為整數(shù)}）\\-120x+12000（{50≤x≤90，且x為整數(shù)}）\end{array}\right.$，
（3）當(dāng)1≤x≤50時(shí)，W═-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050；
∵a=-2＜0且1≤x≤50，
∴當(dāng)x=45時(shí)，W取得最大值，最大值為6050元．
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，W=-120x+12000，
∵k=-120＜0，W隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=50時(shí)，W取最大值，最大值為6000元．
∵6050＞6000
∴當(dāng)x=45時(shí)，W最大，最大值為6050元．
即銷售第45天時(shí)，當(dāng)天獲得的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）分段找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量找出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）利用一次（二次）函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．