Question

11．如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=30°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角相等證明：△ABD∽△DCE；
（2）如圖1，作高AF，根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求AF的長，根據(jù)勾股定理求BF的長，則可得BC的長，根據(jù)（1）中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式，并確定取值；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)AD=DE時，如圖2，
由（1）可知：此時△ABD∽△DCE，則AB=CD，即2=2$\sqrt{3}$-x；
②當(dāng)AE=ED時，如圖3，則ED=$\frac{1}{2}$EC，即y=$\frac{1}{2}$（2-y）；
③當(dāng)AD=AE時，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此時點D與點B重合，不符合題意，此情況不存在．

解答 證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如圖1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
過A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB=90°，
∵AB=2，∠ABF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BF=2$\sqrt{3}$，
則DC=2$\sqrt{3}$-x，EC=2-y，
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{DC}{CE}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{2\sqrt{3}-x}{2-y}$，
化簡得：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\sqrt{3}$x+2（0＜x＜2$\sqrt{3}$）；
（3）當(dāng)AD=DE時，如圖2，
由（1）可知：此時△ABD∽△DCE，
則AB=CD，即2=2$\sqrt{3}$-x，
x=2$\sqrt{3}$-2，代入y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\sqrt{3}$x+2，
解得：y=4-2$\sqrt{3}$，即AE=4-2$\sqrt{3}$，
當(dāng)AE=ED時，如圖3，
∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，
∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，
則ED=$\frac{1}{2}$EC，即y=$\frac{1}{2}$（2-y），
解得：y=$\frac{2}{3}$，即AE=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)AD=AE時，
∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此時點D與點B重合，不符合題意，此情況不存在，
∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時，AE=4-2$\sqrt{3}$或$\frac{2}{3}$．

點評 本題是相似形的綜合題，考查了三角形相似的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30°角的性質(zhì)，本題的幾個問題全部圍繞△ABD∽△DCE，解決問題；難度適中．