Question

4．如圖，將矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形FGCE，點M、N分別是BD、GE的中點，若BC=14，CE=2，則MN的長為10．

Answer 1

分析 連接AC、CF、AF，由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出AC，由矩形的性質(zhì)得出M是AC的中點，N是CF的中點，證出MN是△ACF的中位線，由三角形中位線定理得出MN=$\frac{1}{2}$AF，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AF=$\sqrt{2}$AC=20，即可得出結(jié)果．

解答 解：連接AC、CF、AF，如圖所示：
∵矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形FFCE，
∴∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+1{4}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
AC=BD=GE=CF，AC與BD互相平分，GE與CF互相平分，
∵點M、N分別是BD、GE的中點，
∴M是AC的中點，N是CF的中點，
∴MN是△ACF的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AF，
∵∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AC=10$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=20，
∴MN=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由三角形中位線定理求出MN是解決問題的關(guān)鍵．