Question

如圖，已知PB切⊙O于B，PDC是割線，弦AB∥CD，M為

CD

上一點(diǎn)，AM、BM分別交CD于E、F，求證：CF•DF=EF•PF．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)，得出∠PBM=∠A，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MEF=∠A，進(jìn)而得出∠MEF=∠PBM，得出△EFM∽△BFP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的性質(zhì)求得EF•PF=BF•MF，根據(jù)相交弦的性質(zhì)得出CF•DF=BF•MF，即可證得CF•DF=EF•PF．

解答：證明：∵PB切⊙O于B，
∴∠PBM=∠A，
∵AB∥CD，
∴∠MEF=∠A，
∴∠MEF=∠PBM，
∵∠EFM=∠PFB，
∴△EFM∽△BFP，
∴

EF

BF

=

MF

PF

，
∴EF•PF=BF•MF，
∵CF•DF=BF•MF，
∴CF•DF=EF•PF．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，相交弦定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是本題的關(guān)鍵．