Question

20．在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合（如圖），（1）求證：四邊形BEDF是菱形；
（2）求折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）EF與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ED=EB，F(xiàn)D=FB，EF⊥BD，則∠EDB=∠EBD，由DC∥AB得∠EBD=∠CDB，則∠EDO=∠FDO，而DO⊥EF，可得△DEF為等腰三角形，得到DE=EB=BF=FD，于是可判斷四邊形DEBF為菱形；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出BD=10，設(shè)BE=x，則DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理得到6²+（8-x）²=x²，可解得x=$\frac{25}{4}$，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）EF與BD相交于點(diǎn)O，如圖
∵矩形ABCD紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，
∴EF垂直平分BD，
∴ED=EB，F(xiàn)D=FB，EF⊥BD，
∴∠EDB=∠EBD，
∵DC∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠EDO=∠FDO，
而DO⊥EF，
∴△DEF為等腰三角形，
∴DF=DE，
∴DE=EB=BF=FD，
∴四邊形DEBF為菱形；
（2）在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
設(shè)BE=x，則DE=x，AE=8-x，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=DE²，即6²+（8-x）²=x²，解得x=$\frac{25}{4}$，
即BE=$\frac{25}{4}$，
∵$\frac{1}{2}$S_菱形DEBF=S_三角形DEB
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$EF•DB=$\frac{1}{2}$DE•AB，
∴$\frac{1}{2}$×EF×10=6×$\frac{25}{4}$，
∴EF=$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定方法以及勾股定理．