Question

如圖，直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線y=

k

x

（k＞0）在第一象限內(nèi)相交于A、B兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)．P是雙曲線上一點(diǎn)，且|PO|=|PD|．
（1）試用k、b表示C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若△POD得面積等于1，試求雙曲線在第一象限內(nèi)的分支的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，若△AOB得面積等于4

3

，試求△COA與△BOD的面積之和．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），D點(diǎn)坐標(biāo)為（b，0）；
（2）由|PO|=|PD|得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

b

2

，則利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

b

2

，

2k

b

），再根據(jù)三角形面積公式得S_△POD=

1

2

•b•

2k

b

=1，解得k=1，于是可確定反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

（x＞0）；
（3）作OM⊥CD于M，AQ⊥x軸于Q，BH⊥AQ于H，易得△OCD和△ABH都是等腰直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)得OM=

1

2

AB=

2

2

b，AB=

2

BH，把反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組

y=-x+b y= 1 x

，消去y得到x²-bx+1=0，利用求根公式解方程，可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)分別為

b- b2-4

2

、

b+ b2-4

2

，
則BH=

b+ b2-4

2

-

b- b2-4

2

=

b2-4

，所以AB=

2

•

b2-4

，利用三角形面積公式得

1

2

•

2

2

b•

2

•

b2-4

=4

3

，變形為b⁴-4b²-128=0，解得b₁=4，b₂=-4（舍去），則OC=OD=4，然后利用△COA與△BOD的面積之和=S_△OCD-S_△OAB進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）把x=0代入y=-x+b得y=b；把y=0代入y=-x+b得-x+b=0，解得x=b，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），D點(diǎn)坐標(biāo)為（b，0）；
（2）∵|PO|=|PD|，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

b

2

，
把x=

b

2

代入y=

k

x

得y=

k

b 2

=

2k

b

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

b

2

，

2k

b

），
∴S_△POD=

1

2

•b•

2k

b

=1，解得k=1，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

（x＞0）；
（3）作OM⊥CD于M，AQ⊥x軸于Q，BH⊥AQ于H，
∵OC=OD=b，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴OM=

1

2

AB=

1

2

•

2

b=

2

2

b，
∵△ABH為等腰直角三角形，
∴AB=

2

BH，
由

y=-x+b y= 1 x

得-x+b=

1

x

，
整理得x²-bx+1=0，解得x₁=

b- b2-4

2

，x₂=

b+ b2-4

2

，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)分別為

b- b2-4

2

、

b+ b2-4

2

，
∴BH=

b+ b2-4

2

-

b- b2-4

2

=

b2-4

，
∴AB=

2

•

b2-4

，
∵S△OAB=

1

2

OM•AB，
∴

1

2

•

2

2

b•

2

•

b2-4

=4

3

，
變形為b⁴-4b²-128=0，解得b₁=4，b₂=-4（舍去），
∴OC=OD=4，
∴△COA與△BOD的面積之和=S_△OCD-S_△OAB=

1

2

×4×4-4

3

=8-4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)和三角形面積．