Question

6．如圖，拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過點P（-2，3），頂點Q的橫坐標(biāo)為-1，設(shè)拋物線與x軸相交于點A，B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點A，B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)BQ與y軸相交于點C，求tan∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）由頂點Q的橫坐標(biāo)為-1，那么-$\frac{2a}$=-1，再把點P坐標(biāo)代入即可；
（2）拋物線與x軸相交于點A，B．此時，函數(shù)值y=0，可化為一元二次方程求解；
（3）首先求出拋物線y=-x²-2x+3的頂點坐標(biāo)為（-1，4），然后再確定直線BQ的解析式為y=-2x+2，求得OC=2，結(jié)論即可得出．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{3=4a+4+c}\\{-\frac{-2}{2a}=-1}\end{array}\right.$，
解得a=-1，c=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3

（2）把y=0代入y=-x²-2x+3得：-x²-2x+3=0，
整理得x²+2x-3=0．
變形為（x+3）（x-1）=0，
解得x₁=-3，x₂=1．
∵拋物線與x軸的交點A點在x軸負(fù)半軸，B點在x軸正半軸，
∴A（-3，0），B（1，0）．

（3）∵拋物線y=-x²-2x+3的頂點坐標(biāo)為：（-1，4），
設(shè)直線BQ的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=-k+b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$
解得：k=-2，b=2，
∴y=-2x+2，
∴C（0，2）
∴OC=2，OA=3，
∴tan∠BAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確求出拋物線的表達(dá)式．