Question

16．（1）如圖1：已知射線OC在∠AOB內(nèi)，∠AOC=40°，∠BOC=20°，OM、ON分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，則∠MON=30度．
（2）如圖2：已知射線OC在∠AOB內(nèi)，∠AOB=x°，OM、ON分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，求∠MON的度數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）
（3）已知兩條不同射線OC、OP在∠AOB內(nèi)，OM、ON分別是∠AOP、∠BOC的角平分線，∠AOB=x°，∠POC=y°，不寫過程，直接寫出∠MON=$\frac{x-y}{2}$或$\frac{x+y}{2}$度（用含x，y的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義得出∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=20°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=10°，根據(jù)∠MON=∠MOC+∠NOC可得答案；
（2）由角平分線得出∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，根據(jù)∠MON=∠MOC+∠NOC可得答案；
（3）分∠AOC＞∠BOC和∠AOC＜∠BOC兩種情況分類討論，∠AOC＜∠BOC時，由∠AOB+∠POC=∠AOP+∠BOC=2（∠POM+∠NOC）=2（∠POC+∠MON）可得；∠AOC＞∠BOC時，∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOP+∠BOC）=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOB-∠POC）可得．

解答 解：（1）∵OM、ON分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，且∠AOC=40°，∠BOC=20°，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=20°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=10°，
則∠MON=∠MOC+∠NOC=20°+10°=30°，
故答案為：30；

（2）∵OM、ON分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$x°；

（3）如圖1，

∵OM、ON分別是∠AOP、∠BOC的角平分線，
∴∠AOP=2∠POM、∠BOC=2∠NOC，
∵∠AOB+∠POC=∠AOP+∠BOC，
∴∠AOB+∠POC=2∠POM+2∠NOC，即∠AOB+∠POC=2（∠POM+∠NOC），
又∵∠POM+∠NOC=∠POC+∠MON，
∴∠AOB+∠POC=2（∠POC+∠MON），
即x+y=2（y+∠MON），
解得：∠MON=$\frac{x-y}{2}$；
如圖2，

∵OM、ON分別是∠AOP、∠BOC的角平分線，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOP、∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
則∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）
=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOP+∠BOC）
=∠AOB-$\frac{1}{2}$（∠AOB-∠POC）
=x-$\frac{1}{2}$（x-y）
=$\frac{x+y}{2}$，
綜上，∠MON=$\frac{x-y}{2}$或$\frac{x+y}{2}$，
故答案為：$\frac{x-y}{2}$或$\frac{x+y}{2}$．

點評 本題主要考查角的計算及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角的和差計算和角平分線的定義．