Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù) 的圖象M經(jīng)過(，0)，(2，)兩點(diǎn)且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與線段的端點(diǎn)不重合），若△AGB∽△ABC，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積為時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為E，能否在拋物線和上分別找到點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. 若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)G的坐標(biāo)為；（3）能. 點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)的表達(dá)式，即可求解；

（2）先求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理求出AC、AG，再由三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出k的值，進(jìn)而得到答案；

（3）過D點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)H，根據(jù)=，列方程求出m的值，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則∥且，求得點(diǎn) Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(，0)，C(2，)兩點(diǎn)，

∴解得 .

∴二次函數(shù)的解析式為

（2）∵A(，0)，C(2，)∴線段AC的解析式：.

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為.

由可知：B(4,0)

∴AB=5，

AG=

∵△AGB∽△ABC，

∴

∴

∴

∴或（舍去）

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為

（3）能. 理由如下：如答圖，過D點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)H，

∵， ∴.

∵點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，上，

∴.

∵△ACD的面積為，

∴，

整理得，解得.

∴.

∵，∴圖象的對(duì)稱軸為.

∵點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為E，∴

∴.

若以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則∥且.

∵Q在對(duì)稱軸x=上，

∴Q的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或.

∴當(dāng)x=或時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.