Question

5．如圖，⊙O中，點A為$\widehat{BC}$中點，BD為直徑，過A作AP∥BC交DB的延長線于點P．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若$BC=4\sqrt{5}$，AB=6，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得出AO⊥BC，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得出AP⊥AO，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)垂徑定理得出BE=2$\sqrt{5}$，在RT△ABE中，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠BAO=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABD=∠BAO，即可求得求sin∠ABD=sin∠BAO=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

解答 （1）證明：連結(jié)AO，交BC于點E．
∵點A是$\widehat{BC}$的中點
∴AO⊥BC，
又∵AP∥BC，
∴AP⊥AO，
∴AP是⊙O的切線；
（2）解：∵AO⊥BC，$BC=4\sqrt{5}$，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$，
又∵AB=6
∴$sin∠BAO=\frac{BE}{AB}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∵OA=OB
∴∠ABD=∠BAO，
∴$sin∠ABD=sin∠BAO=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點評 此題主要考查了切線的判定，垂徑定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確轉(zhuǎn)化角度得出$sin∠ABD=sin∠BAO=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$是解題關(guān)鍵．