Question

19．如圖，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分線交于點A₂，得∠A₂；…∠A₁BC和∠A₁CD的平分線交于點A₃，則∠A₃=8°．

Answer 1

分析 利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，進(jìn)而可求∠A₁，由于∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，故∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A．

解答 解：∵A₁B平分∠ABC，A₁C平分∠ACD，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CA=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
即$\frac{1}{2}$∠ACD=∠A₁+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$×64°=32°，
∵∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∴∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A=$\frac{1}{8}$×64°=8°．
故答案為：8°．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，并能找出規(guī)律．