Question

6．等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點P；
（1）如AE=CF=2，
①試判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；
②試求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，當(dāng)點E從A運動到點C時，請直接寫出點P經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；
②利用勾股定理求得AF的長度，再根據(jù)平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得$\frac{AP}{AF}$的比值，即可以得到答案．
（2）當(dāng)點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．點F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度，然后綜合上述兩種情況可得到圖3和圖4兩種情況．

解答 （1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（SAS）．
∴AF=BE．
②△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠FAC．
∴∠APE=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠FAC=60°．
∴∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AE}{AF}$，即 $\frac{AP}{6}=\frac{2}{AF}$．
∴AP•AF=12．
（2）①如圖1所示：當(dāng)AE=CF時，點P的路徑是一段�。�

由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6，
∴OA=2$\sqrt{3}$．
∴點P的路徑是l=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{120π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
②如圖2所示，當(dāng)AE=BF時，過點C作CH⊥AB垂足為H．
點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段HC的長度．

∵等邊三角形ABC的邊長為6，CH⊥AB．
∴BH=3．
∴點P的路徑CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
③如圖3所示：

$\widehat{AG}=\frac{1}{2}\widehat{AB}=\frac{1}{2}•\frac{4\sqrt{3}π}{3}=\frac{2\sqrt{3}π}{3}$．
∵OA=0B，CA=CB，
∴OC垂直平分AB．
又∵∠AOB=120°，
∴∠AOG=60°．
∴OD=ADtan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．OA=2OD=2$\sqrt{3}$．
∴DG=OG-OD=2$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴GC=3$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
所以點P經(jīng)過的軌跡=$\widehat{AG}$+GC=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$+2$\sqrt{3}$．
④如圖4所示：

由③可知：DG=$\sqrt{3}$，$\widehat{BG}$=$\widehat{AG}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$．
所以點P經(jīng)過的軌跡=$\widehat{BG}+DG$=$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$+$\sqrt{3}$．
綜上所述，點P經(jīng)過的軌跡的長度為$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$或3$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$+2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}π}{3}+\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運用．