Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C（0，-3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D，點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點（點P在第三象限）
（1）求拋物線的函數表達式和直線BC的函數表達式；
（2）當△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 時，求出點P的坐標；
（3）當△PBC的面積為

21

8

時，求點E的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）用對稱軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點C（0，-3），求出拋物線解析式即可；由拋物線的解析式可求出B的坐標，進而可求出線BC的函數表達式；
（2）當∠CDE=90°時，則CE為斜邊，則DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），求出a的值，進而得出P點坐標；
（3）當△PBC的面積為

21

8

時，過P作PK∥x 軸，交直線BC于點K，設P（m，n），則n=m²-2m-3，由已知條件可得：S_△PBC=S_△PKC+S_△PKB=

21

8

，進而可求出P的坐標，又因為點P在CE垂直平分線上，所以E的坐標可求出．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴-

b

2a

-=1，
∴b=-2
∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），
∴c=-3，
∴拋物線的函數表達式為：y=x²-2x-3；
∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
當y=0時，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A點在B點左側，
∴A（-1，0），B（3，0）
設過點B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數表達式為y=kx+m，
則

0=3k+m -3=m

，
∴

k=1 m=-3

∴直線BC的函數表達式為y=x-3；

（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直線BC的解析式為y=x-3，
∴∠OCB=45°，
∵點D在對稱軸x=1與直線y=x-3交點上，
∴D坐標為（1，-2 ）
Rt△CDE為等腰直角三角形易得E的坐標（0，-1），
∵點P在CE垂直平分線上，
∴點P縱坐標為-2，
∵點P在y=x²-2x-3上，
∴x²-2x-3=-2，
 解得：x=1±

2

，
∵P在第三象限，
∴P的坐標為（1-

2

，-2）；

（3）過P作PK∥x軸，交直線BC于點K，設P（m，n），則n=m²-2m-3
∵直線BC的解析式為y=x-3，
∴K的坐標為（n+3，n），
∴PK=n+3-m=m²-3m，
∵S_△PBC=S_△PKC+S_△PKB=

21

8

，
∴

1

2

×3KP=

21

8

∴m²-3m=

7

4

，
解得：m=-

1

2

或

7

2

，
∵P在第三象限，
∴P的坐標為（-

1

2

，-

7

4

）
∵點P在CE垂直平分線上，
∴E的坐標為（0，-

1

2

）

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法以及用待定系數法求一次函數的解析式和等腰直角三角形的性質，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．