Question

如圖所示，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE于C，連結(jié)OD，且∠AOD＝∠APC． (1) 求證：AP是⊙O的切線 (2) 若OC∶CB＝1∶2，AB＝9，求⊙O的半徑及sinA的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如圖，連結(jié)OP． 　　因為弦PD⊥直徑BE于C，所以∠D＋∠AOD＝．因為OP＝OD，所以∠D＝∠OPC，所以∠OPC＋∠AOD＝．因為∠APC＝∠AOD，所以∠OPC＋∠APC＝，所以AP⊥OP．又因為OP為⊙O半徑，所以AP是⊙O的切線．
(2)	因為OC∶CB＝l∶2，所以設(shè)OC＝x，則BC＝2x，所以O(shè)B＝3x＝OP， 　　在Rt△ACP與Rt△APO中，因為∠ACP＝∠APO＝，∠A＝∠A， 　　所以△ACP∽△APO，所以＝，所以AP2＝AC·AO＝(9＋2x)(9＋3x)． 　　因為∠APO＝，所以AP2＋OP2＝AO2，即(9＋2x)(9＋3x)＋9x2＝(9＋3x)2，整理得2x2－3x＝0．因為x＞0，所以x＝，所以⊙O的半徑OP＝3x＝，所以AO＝9＋3x＝9＋＝， 　　所以sinA＝＝＝