Question

11．已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+2k=0
（1）求證：不論k為何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的兩邊的長度是該方程的兩個根，第三邊長度為3，求出此時△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）先計算△，化簡得到△=（2k-1）²，易得△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結論；
（2）利用因式分解法求出方程的兩根x₁=2k，x₂=1，設a=3，b=2k，c=1，然后討論：當a、b為腰；當b、c為腰，分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關系，最后計算周長．

解答 （1）證明：∵△=（4k+1）²-4•2k
=4k²+1+4k-8k
=4k²-4k+1
=（2k-1）²≥0，
∴無論k取何值，方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：∵x²-（2k+1）x+2k=0，
∴（x-2k）（x-1）=0，
∴x₁=2k，x₂=1．
∵等腰△ABC的兩邊的長度是該方程的兩個根，第三邊長度為3，設a=3，b=2k，c=1，
當a、b為腰，則a=b=3，即2k=3，解得k=1.5，此時三角形的周長=3+3+1=7；
當b、c為腰時，b=c=1，此時b+c＜a，故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC的周長為7．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關系以及分類討論思想的運用．