Question

18．如圖，點O是△ABC的兩條角平分線的交點，過O作AO的垂線交AB于D，求證：△OBD∽△CBO．

Answer 1

分析 由點O是△ABC的兩條角平分線的交點，得到∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}∠$ACB，AO平分∠BAC，根據三角形的內角和得到∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，于是得到∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°+∠BAO，根據AO⊥DO，得到∠AOD=90°，得到∠BDO=90°+∠BAO，求得∠BDO=∠BOC，于是得到結論．

解答 解：∵點O是△ABC的兩條角平分線的交點，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}∠$ACB，AO平分∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠1+∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°+∠BAO，
∵∠BDO=∠AOD+∠BAO，
∵AO⊥DO，
∴∠AOD=90°，
∴∠BDO=90°+∠BAO，
∴∠BDO=∠BOC，
∵∠1=∠3，
∴△OBD∽△CBO．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的內角和，三角形外角的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．