Question

10．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交邊BC于點D，點E是$\widehat{BD}$上一點．
（1）若AC為⊙O的切線，試說明：∠AED=∠CAD；
（2）若AE平分∠BAD，延長DE、AB交于點P，若PB=BO，DE=2，求PD的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠CAD=∠B，根據(jù)∠AED=∠B即可證明結(jié)論．
（2）只要證明AD∥OE，可得$\frac{AO}{AP}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{3}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AC是切線，
∴∠CAB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠DBA，
∵∠DBA=∠AED，
∴∠AED=∠CAD．

（2）解：連接OE．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAB，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∴$\frac{AO}{AP}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{3}$，
∴DP=3DE=6．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、直徑的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考�？碱}型．