Question

6．如圖，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D，且∠APD=∠OAD
（1）判斷PA與⊙O的位置關系并證明；
（2）證明：∠BDP=∠ODC；
（3）證明：AD²=BD•CD．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的兩銳角互余以及等量代換證得∠OAP=90°，利用切線的判定定理證得；
（2）連接OA、OC，如圖，根據(jù)切線的性質得∠OAP=90°，由AD⊥OP得到∠ADP=∠ADO=90°，再根據(jù)相似三角形的判定易得Rt△PAD∽Rt△POA，則PA²=PD•PO，同理可得Rt△OAD∽Rt△OPA，則OA²=OD•OP；Rt△PAD∽Rt△AOD，則AD²=PD•DO，由于OA²=OD•OP，OC=OA，得到OC²=OD•OP，加上∠POC=∠COD，則根據(jù)相似三角形的判定方法得到△POC∽△COD；然后根據(jù)切割線定理得PA²=PB•PC，則PB•PC=PD•PO，加上∠BPD=∠OPC，于是可判斷△PBD∽△POC，
所以△PBD∽△COD，利用相似比得到∠BDP=∠ODC，
（3）利用△PBD∽△COD證得PD•OD=BD•CD，由此得到AD²=BD•CD．

解答 證明：（1）∵AD⊥OP，
∴△APD是直角三角形，
∴∠APD+∠PAD=90°，
又∵∠APD=∠OAD，
∴∠PAD+∠OAD=90°，即∠OAP=90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是切線；
（2）解：連接OA、OC，如圖，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵AD⊥OP，
∴∠ADP=∠ADO=90°，
∵∠APO=∠DPA，
∴Rt△PAD∽Rt△POA，
∴PA：PO=PD：PA，即PA²=PD•PO，
同理可得Rt△OAD∽Rt△OPA，則OA²=OD•OP，
Rt△PAD∽Rt△AOD，則AD²=PD•DO，
∵OA²=OD•OP，OC=OA，
∴OC²=OD•OP，即OC：OD=OP：OC，
而∠POC=∠COD，
∴△POC∽△COD；
∵PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∴PB•PC=PD•PO，即PB：PO=PD：PC，
而∠BPD=∠OPC，
∴△PBD∽△POC，
∴△PBD∽△COD，
∴∠BDP=∠ODC；
（3）解：∵△PBD∽△COD，
∴PD：CD=BD：OD，即PD•OD=BD•CD，
∴AD²=BD•CD．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質、切割線定理．