Question

如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₂B₂C₂D₂，如此進(jìn)行下去，得到四邊形A_nB_nC_nD_n．下列結(jié)論正確的是（　�。�
①四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
②四邊形A₃B₃C₃D₃是矩形；
③四邊形A₇B₇C₇D₇周長(zhǎng)為

a+b

8

；
④四邊形A_nB_nC_nD_n面積為

a•b

2n

．

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長(zhǎng)與四邊形ABCD中各邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系規(guī)律，然后對(duì)以下選項(xiàng)作出分析與判斷：
①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；
②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；
③由四邊形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)之和，來(lái)計(jì)算四邊形A₅B₅C₅D₅的周長(zhǎng)；
④根據(jù)四邊形A_nB_nC_nD_n的面積與四邊形ABCD的面積間的數(shù)量關(guān)系來(lái)求其面積．

解答：解：①連接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形；
∵AC丄BD，
∴A₁B₁丄A₁D₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位線(xiàn)定理），
∴四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形；
∴四邊形A₃B₃C₃D₃是矩形；
∴根據(jù)中位線(xiàn)定理知，四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故①②正確；
③根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)易知，A₇B₇═

1

2

A₅B₅=

1

4

A₃B₃=

1

8

A₁B₁=

1

16

AC，B₇C₇=

1

2

B₅C₅=

1

4

B₃C₃=

1

8

B₁C₁=

1

16

BD，
∴四邊形A₇B₇C₇D₇的周長(zhǎng)是2×

1

16

（a+b）=

a+b

8

，
故③正確；
④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四邊形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，
四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是

ab

2n+1

，
故④錯(cuò)誤；
綜上所述，①②③正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線(xiàn)定理（三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時(shí)，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系．