Question

16．如圖，將放置于平面直角坐標(biāo)系中的三角板AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1．
（1）求B′點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，請(qǐng)寫出與△A′OB′成中心對(duì)稱的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得OA=2AB，再求出OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB′=OB，過點(diǎn)B′作B′C⊥x軸于C，求出∠COB′=60°，然后求出OC、B′C，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的定義求解即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′=OA，然后寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求解．

解答 解：（1）∵∠AOB=30°，∠B=90°，
∴OA=2AB=2×1=2，
OB=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$，
∵△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′，
∴OB′=OB=$\sqrt{3}$，
過點(diǎn)B′作B′C⊥x軸于C，
則∠COB′=180°-30°-90°=60°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
B′C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
所以，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）∵△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′OB′，
∴OA′=OA=2，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，2），
∴△A′OB′關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-2），（0，0），（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵在于作出以點(diǎn)B′為頂點(diǎn)的直角三角形．