Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PD與⊙O相切于點(diǎn)C，與BA的延長線交于點(diǎn)D，DE⊥PO，交PO的延長線于點(diǎn)E，連接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若PB=3，DB=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以求得∠DEO=∠PBO，再根據(jù)PE⊥DE，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理可以求得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠DEO=∠PBO，
∵DE⊥PE，
∴∠DEO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴PB是⊙O的切線；
（2）由（1）知，PB是⊙O的切線，
∴∠PBD=90°，
∵PB=3，DB=4，
∴PD=5，
∵PC和PB都是⊙O的切線，
∴PC=PB=3，∠OCD=90°，
∴CD=2，
設(shè)⊙O的半徑為x，則OC=x，OD=4-x，
則2²+x²=（4-x）²，
解得，x=$\frac{3}{2}$，
即⊙O的半徑是$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)與判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用切線的性質(zhì)和勾股定理解答．