Question

【題目】已知：在以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，，三點(diǎn)．

（1）求直線和該拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖①，點(diǎn)為拋物線上的一個動點(diǎn)，且在直線的上方，過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，求的最大值．

（3）如圖②，過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，且軸，點(diǎn)是拋物線上，之間的一個動點(diǎn)，直線，與分別交于，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）是，的定值為18．

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法即可求出直線OB的解析式，然后將拋物線的解析式設(shè)為兩點(diǎn)式，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)，則可表示出N的坐標(biāo)，由MN的縱坐標(biāo)相同可得到s和t的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；

（3）設(shè)點(diǎn)，則可表示出PQ,CQ,DQ,再利用相似三角形的性質(zhì)可用t分別表示出EF和EG的長度，則可求出答案．

（1）設(shè)直線OB的解析式為，

將代入解析式中得，，

解得 ，

∴直線OB解析式為；

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線解析式為 ．

∵拋物線經(jīng)過，

，

解得 ，

∴拋物線解析式為 ；

（2）設(shè)，則N的坐標(biāo)為 ，

軸，

，

，

∴當(dāng)時，MN有最大值，最大值為 ；

（3），理由如下：

過點(diǎn)P作軸交x軸于點(diǎn)Q，

由，

∴ ．

設(shè)，則，

，

，

，

．

同理，

，

，

∴當(dāng)P運(yùn)動時，為定值18．