Question

9．如圖，已知一次函數(shù)y₁=$\frac{1}{2}$x+b的圖象1與二次函數(shù)y₂=-x²+mx+b的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2-$\sqrt{5}$，0）
（1）求二次函數(shù)的最大值；
（2）求使y₂＞y₁成立的x取值的所有整數(shù)和；
（3）若點(diǎn)F、G在二次函數(shù)圖象上．長(zhǎng)度為$\sqrt{5}$的線段DE在線段BC上移動(dòng)，EF與DG始終平行于y軸，求當(dāng)四邊形DEFG的面積最大時(shí)，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后求出其最大值；
（2）聯(lián)立y₁與y₂，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$），因此使y₂＞y₁成立的x的取值范圍為0＜x＜$\frac{7}{2}$，得s=1+2+3=6；
（3）四邊形DEFG是一個(gè)梯形，將其面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，這個(gè)代數(shù)式是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)其最值求出未知數(shù)的值，進(jìn)而得到面積最大時(shí)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y₂=-x²+mx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，1）與A（2-$\sqrt{5}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-（2-\sqrt{5}）^{2}+（2-\sqrt{5}）m+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴l(xiāng)：y₁=$\frac{1}{2}$x+1；
∴y₂=-x²+4x+1=-（x-2）²+5，
∴y_max=5；

（2）聯(lián)立y₁與y₂得：$\frac{1}{2}$x+1=-x²+4x+1，解得x=0或x=$\frac{7}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{7}{2}$時(shí)，y₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$+1=$\frac{11}{4}$，
∴C（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$）．
使y₂＞y₁成立的x的取值范圍為0＜x＜$\frac{7}{2}$，
∴s=1+2+3=6．

（3）∵點(diǎn)D、E在直線l：y₁=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴設(shè)D（p，$\frac{1}{2}$p+1），E（q，$\frac{1}{2}$q+1），其中q＞p＞0．
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DG于點(diǎn)H，則EH=q-p，DH=$\frac{1}{2}$（q-p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH²+DH²=DE²，即（q-p）²+[$\frac{1}{2}$（q-p）]²=（$\sqrt{5}$）²，
解得q-p=2，即q=p+2．
∴EH=2，E（p+2，$\frac{1}{2}$p+2）．
當(dāng)x=p時(shí)，y₂=-p²+4p+1，
∴G（p，-p²+4p+1），
∴DG=（-p²+4p+1）-（$\frac{1}{2}$p+1）=-p²+$\frac{7}{2}$p；
當(dāng)x=p+2時(shí)，y₂=-（p+2）²+4（p+2）+1=-p²+5，
∴F（p+2，-p²+5），
∴EF=（-p²+5）-（$\frac{1}{2}$p+2）=-p²-$\frac{1}{2}$p+3．
S_{四邊形DEFG}=$\frac{1}{2}$（DG+EF）•EH=$\frac{1}{2}$[（-p²+$\frac{7}{2}$p）+（-p²-$\frac{1}{2}$p+3）]×2=-2p²+3p+3
∴當(dāng)p=$\frac{3}{4}$時(shí)，四邊形DEFG的面積取得最大值，
∴D（$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{8}$）、E（$\frac{11}{4}$，$\frac{19}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合問(wèn)題，綜合考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)最值、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)眾多，難度較大．