Question

20．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．則下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S_△EGC=S_△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°，其中正確的是①②③④（填序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；分別求出S_△EGC與S_△AFE的面積比較即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．

解答 解：①正確．
理由：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；

②正確．
理由：EF=DE=$\frac{1}{2}$CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=CG；

③正確．
理由：∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；

④正確．
理由：∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵S_△AFE=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{1}{2}$×6×2=6，
∴S_△EGC=S_△AFE；

⑤錯(cuò)誤．
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．