Question

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5cm，BC=11cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿DA邊以每秒1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊以每秒2cm的速度移動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)停止移動(dòng)），假設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為x（秒），四邊形ABQP的面積為y（cm²）．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（2）在移動(dòng)的過程中，若四邊形ABQP的面積與四邊形QCDP的面積相等，求此時(shí)的x值；
（3）在移動(dòng)的過程中，是否存在x使得PQ=AB？若存在求出所有x的值，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出梯形的高，根據(jù)梯形的面積公式寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式和定義域；
（2）四邊形ABQP的面積與四邊形QCDP的面積相等時(shí)，四邊形ABQP的面積=四邊形ABCD的面積的一半列出算式解答即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）如圖1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC與F，
∵AB=CD=AD=5cm，BC=11cm，
∴BQ=CF=3，
由勾股定理得，AE=4，
則y=$\frac{1}{2}$×（5-x+2x）×4=2x+10，（0≤x≤5）；
（2）四邊形ABQP的面積與四邊形QCDP的面積相等時(shí)，
四邊形ABQP的面積=四邊形ABCD的面積的一半，
即2x+10=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（5+11）×4，
解得，x=3；
（3）如圖2，當(dāng)四邊形ABQP為平行四邊形時(shí)，PQ=AB，
即AP=BQ，此時(shí)，5-x=2x，
解得，x=$\frac{5}{3}$，
如圖3，當(dāng)四邊形ABQP為等腰梯形時(shí)，PQ=AB，
此時(shí)四邊形PQCD是平行四邊形，
x=11-2x，
解得，x=$\frac{11}{3}$，
∴當(dāng)x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{11}{3}$時(shí)，PQ=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的運(yùn)用和梯形面積公式的運(yùn)用．