Question

2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)PE，求證：PE與⊙O相切．

Answer 1

分析 連接OP，OE，由已知得到OE為△ABC的中位線，再證明△OBE≌△OPE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)定理得出∠OBE=∠OPE=90°，然后利用切線的判定定理即可證明PE與⊙O相切．

解答 證明：如圖，連接OP，OE．
∵OA=0B，BE=EC，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠A=∠BOE，∠APO=∠POE，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠BOE=∠POE．
在△OBE與△OPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OP}\\{∠BOE=∠POE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OPE，
∴∠OBE=∠OPE=90°，
∴PE與⊙O相切．

點(diǎn)評 本題考查的是切線的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．通常要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)時(shí)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．