Question

1．在圖1中，AP是⊙O的切線(xiàn)，作射線(xiàn)AO，交⊙O于B，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AO于點(diǎn)C，連接QC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接RD（如圖2所示），試問(wèn)RD與直線(xiàn)OA是否垂直？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 連接OR，OP，OD，由AP是⊙O的切線(xiàn)，得到∠APO=90°，通過(guò)△APC∽△AOP，由切割線(xiàn)定理得到AQ•AR=AC•AO，于是得到$\frac{AQ}{AO}=\frac{AC}{AR}$，于是推出△ACQ∽△ARO，證得∠AQC=∠AOR，即可得到結(jié)論．

解答 解：RD與直線(xiàn)OA垂直，
理由：連接OR，OP，OD，
∵AP是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠APO=90°，
∵PC⊥AO，
∴△APC∽△AOP，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AO}{AP}$，
∴AP²=AC•AO，
由切割線(xiàn)定理得：AP²=AQ•AR，
∴AQ•AR=AC•AO，
∴$\frac{AQ}{AO}=\frac{AC}{AR}$，
∵∠QAC=∠CAR，
∴△ACQ∽△ARO，
∴∠AQC=∠AOR，
∴∠RQD=∠BOR，
∴∠DOR=2∠RQD=2∠BOR，
∴∠BOR=∠BOD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BR}$，
∴OA⊥DR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，切割線(xiàn)定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．