Question

12．拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為A（-1，0）和B（3，0），與直線y=-x+k相交于點A和點C（2，-3）．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，且以點P和A、C以及另一點Q為頂點的平行四邊形ACQP面積為12，求點P、Q的坐標；
（3）在（2）條件下，若點M是x軸下方拋物線上的動點，當△PQM的面積最大時，請求出△PQM的最大面積及點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C三點的坐標代入y=ax²+bx+c，把C點坐標代入y=-x+k，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）AC所在直線的解析式為：y=-x-1，根據(jù)平行四邊形ACQP的面積為12，求出AC邊上的高為2$\sqrt{2}$，過點D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點K，求出DK、DN，得到PQ的解析式為y=-x+3或y=-x-5，求出方程組的解，即可得到P₁（3，0），P₂（-2，5），根據(jù)ACQP是平行四邊形，求出Q的坐標；同法求出以AC為對角線時P、Q的坐標；
（3）設M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），過點M作y軸的平行線，交PQ所在直線于點T，則T（t，-t+3），求出MT=-t²+t+6，過點M作MS⊥PQ所在直線于點S，求出MS=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，即可得到答案．

解答 解：（1）如圖1，∵直線y=-x+k經(jīng)過點C（2，-3）．
∴-2+k=-3，
∴k=-1，
∴直線的解析式為y=-x-1，
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為A（-1，0）和B（3，0），且經(jīng)過點C（2，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{4a+2b+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵A（-1，0），C（2，-3），
∴由勾股定理得：AC=$\sqrt{（2+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵AC所在直線的解析式為：y=-x-1，
∴∠BAC=45°，
∵平行四邊形ACQP的面積為12，
∴平行四邊形ACQP中AC邊上的高為$\frac{12}{3\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
如圖2，過點D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點K，DK=2$\sqrt{2}$，
∴DN=4，
∵四邊形ACQP，PQ所在直線在直線ADC的兩側，可能各有一條，
∴根據(jù)平移的性質(zhì)得出直線PQ的解析式為①y=-x+3或②y=-x-5，
∴由①得：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$，
由②得：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-x-5}\end{array}\right.$，方程組無解，
即P₂（3，0），P₁（-2，5），
∵ACQP是平行四邊形，A（-1，0），C（2，-3），
①當P（-2，5）時，Q₁（1，2），
②當P（3，0）時，Q₂（6，-3），
綜上，點P，Q的坐標是P₁（-2，5），Q₁（1，2）或P₂（3，0），Q₂（6，-3）．

（3）設M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），
如圖3，過點M作y軸的平行線，交PQ所在直線于點T，則T（t，-t+3），
MT=（-t+3）-（t²-2t-3）=-t²+t+6，
過點M作MS⊥PQ所在直線于點S，
MS=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MT=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-t²+t+6）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，
則當t=$\frac{1}{2}$時，M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），△PQM中PQ邊上高的最大值為$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，
∵P₁（3，0），Q₁（6，-3）或P₂（-2，5），Q₂（1，2）．
∴當P（3，0），Q（6，-3）時，PQ=$\sqrt{（3-6）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
當P（-2，5），Q（1，2）時，PQ=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（5-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△PQM=$\frac{1}{2}$×PQ×$\frac{25\sqrt{2}}{8}$=$\frac{75}{8}$．
故△PQM的最大面積是$\frac{75}{8}$，點M的坐標是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點評 本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)，解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度．