Question

1．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，連結(jié)MC．
（1）求證：FM=FC；
（2）AD與MC垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出DF⊥AE，DF=AF=EF，再證明△DFC≌△AFM，得出FC=FM；
（2）由（1）得：∠DFC=90°，DF=EF，∠FDE=∠FMC=45°，再證明DE∥MC，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AD⊥DE，且AD=DE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM+∠AMF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FAM+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠AFM=90°}\\{∠DCF=∠AMF}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴FC=FM；

（2）AD⊥MC．
理由如下：
由（1）得：∠DFC=90°，DF=EF，F(xiàn)M=FC，
∴△DEF、△CFM是等腰直角三角形，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥MC，
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．