Question

9．如圖，設(shè)P是直徑為8的半圓O上一動點(diǎn)．
（1）如圖①，若P到AB的距離PD=2$\sqrt{3}$，試求出AD的長；
（2）如圖②，若點(diǎn)Q是弧$\widehat{BP}$上任一點(diǎn)，連接AQ交PB于點(diǎn)M，試說明AM•AQ+BM•BP為定值．

Answer 1

分析 （1）證△PAD∽△BPD得$\frac{AD}{PD}=\frac{PD}{BD}$，即可知PD²=AD•DB，設(shè)AD=x，則DB=8-x，即可得（2$\sqrt{3}$）²=x（8-x），解之得出答案；
（2）作MG⊥AB，證△AMG∽△ABQ知$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AQ}$，即AM•AQ=AB•AG．同理可得：BG•BP=GB•AB．兩式相加得：AM•AQ+BM•BP=AB²=64，即可得答案．

解答 解：（1）如圖①，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，即∠APD+∠BPD=90°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠PDB=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠BPD，
∴△PAD∽△BPD．
∴$\frac{AD}{PD}=\frac{PD}{BD}$，
∴PD²=AD•DB．
設(shè)AD=x，則DB=8-x，
∴（2$\sqrt{3}$）²=x（8-x），
解得x=2或x=6．
即AD=2，AD=6．

（2）如圖②過M作MG⊥AB，連接PA、QB，
∵∠AGM=∠AQB=90°，
又∵∠GAM=∠QAB，
∴△AMG∽△ABQ，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AQ}$，
∴AM•AQ=AB•AG．
同理可得：BG•BP=GB•AB．
兩式相加得：AM•AQ+BM•BP=AB²=64．
∴AM•AQ+BM•BP為定值．

點(diǎn)評 本題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．