Question

15．已知拋物線y=ax²-2anx+an²+n+3的頂點P在一條定直線l上．
（1）直接寫出直線l的解析式；
（2）對于任意非零實數(shù)a，存在確定的n的值，使拋物線與x軸有唯一的公共點，求此時n的值；
（3）當(dāng)點P在x軸上時，拋物線與直線l的另一個交點Q，過點Q作x軸的平行線，交拋物線于點A，過點Q作y軸的平行線，交x軸于點B，求$\frac{AQ}{BQ}$的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先把拋物線解析式化成頂點式，確定出頂點坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（2）令拋物線中的y=0用一元二次方程根的判別式即可得出結(jié)論；
（3）先確定出n的值，進而得出點Q的坐標(biāo)，即可確定出點A，B坐標(biāo)，最后確定出AQ，BQ，即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2anx+an²+n+3=a（x-n）²+（n+3），
∴拋物線P（n，n+3），
∵頂點P在一條定直線l上，
令n=x，n+3=y，
∴y=x+3，
即：直線l的解析式為y=x+3，
（2）拋物線與x軸有唯一的公共點，
令y=0，即：ax²-2anx+an²+n+3=0，
∴△=（-2an）²-4a×（an²+n+3）=-4a（n+3）=0，
∵任意非零實數(shù)a，
∴n+3=0，
∴n=-3，
∴拋物線與x軸有唯一的公共點，此時n的值為-3，
（3）由（1）知，P（n，n+3），
∵點P在x軸上，
∴n+3=0，
∴n=-3，
∴拋物線y=a（x+3）²，①
∵直線l的解析式為y=x+3②，
聯(lián)立①②得Q（-3+$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∵過點Q作y軸的平行線，交x軸于點B，
∴BQ=|$\frac{1}{a}$|，
∵過點Q作x軸的平行線，交拋物線于點A，
∴a（x+3）²=$\frac{1}{a}$，
∴x=-3±$\frac{1}{a}$，
∴A（-3-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∵Q（-3+$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∴AQ=|-3+$\frac{1}{a}$-（-3-$\frac{1}{a}$）|=|$\frac{2}{a}$|
∴$\frac{AQ}{BQ}=\frac{|\frac{2}{a}|}{|\frac{1}{a}|}$=2．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了配方法，拋物線的頂點坐標(biāo)的確定，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，根的判別式，函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，解本題的關(guān)鍵是確定出n的值．