Question

11．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，4），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)P并且與AB、BC分別交于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OD、OE、DE，則△ODE的面積為15．

Answer 1

分析 設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再由反比例函數(shù)與AC相切求出k值，由此即可找出D、E的坐標(biāo)，利用分割圖形求面積法即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{0=8a+b}\\{4=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
將y=$\frac{k}{x}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+4中，整理得：x²-8x+2k=0，
∵反比例函數(shù)與直線AC只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（-8）²-8k=0，解得：k=8，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$．
令y=$\frac{8}{x}$中x=8，則y=1，
∴D（8，1），
令y=$\frac{8}{x}$中y=4，則x=2，
∴E（2，4）．
∴S_△ODE=S_矩形OABC-S_△OCE-S_△OAD-S_△BDE=4×8-$\frac{1}{2}$×8-$\frac{1}{2}$×8-$\frac{1}{2}$×（8-2）×（4-1）=15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根的判別式以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由相切根據(jù)根的判別式找出反比例函數(shù)解析式是關(guān)鍵．