Question

12．正方形ABCD中，F(xiàn)為DC中點，E為BC上一點，且EC=$\frac{1}{4}$BC．
（1）若設(shè)EC=x，請用x表示EF²=5x²，AF²=20x²．
（2）猜測∠EFA的度數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可知AB=BC=CD=DE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，在應(yīng)用勾股定理即可用x表示EF²與AF²值．
（ 2 ）應(yīng)用勾股定理的逆定理加以說明即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
數(shù)又F為DC中點，E為BC上一點，且EC=$\frac{1}{4}$BC，
∴若設(shè)EC=x，BC=4x，CF=2x，
∴由勾股定理得：
EF²=x²+（2x）²=5x²，AF²=（4x）²+（2x）²=20x²．
故答案為：5x²；20x²
（2）猜測：∠EFA=90°，理由如下：
∵由勾股定理得：AE²=（4x）²+（3x）²=25x²
∴AE²=EF²+AF²
∴△AEF是直角三角形，且∠EFA=90°

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)與勾股定理及逆定理的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)與勾股定理的綜合應(yīng)用方法．