Question

12．如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=$\frac{4}{3}$．
（1）求CD邊的長；
（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點P，交CB于點Q（點Q運動到點B停止）．設(shè)DP=x，四邊形PQCD的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別延長AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA=$\frac{4}{3}$，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通過等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由tanA=$\frac{4}{3}$，得cosA=$\frac{3}{5}$，于是得到cos∠ECD=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{3}{5}$，即問題可得；
（2）由（1）可知tan∠ECD=$\frac{ED}{CD}=\frac{4}{3}$，得到ED=$\frac{8}{5}$，如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～△EPQ，得到比例式$\frac{ED}{EP}=\frac{DC}{PQ}$，求得PQ=$\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x$，由S_{四邊形PQCD}=S_△EPQ-S_△EDC，于是得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$PQ•EP-$\frac{1}{2}$DC•ED=$\frac{1}{2}×（\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x）×（\frac{8}{5}+x）$-$\frac{1}{2}×\frac{6}{5}×\frac{8}{5}$=${\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{6}{5}x$，于是當(dāng)Q點到達B點時，點P在M點處，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=$\frac{8}{5}$，于是結(jié)論可得．

解答 解：（1）如圖（3），分別延長AD、BC相交于E，
在Rt△ABE中，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，AB=3，BC=2，
∴BE=4，EC=2，AE=5，
又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
由tanA=$\frac{4}{3}$，得cosA=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠ECD=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{6}{5}$；

（2）如圖4，由（1）可知tan∠ECD=$\frac{ED}{CD}=\frac{4}{3}$，
∴ED=$\frac{8}{5}$，
如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～△EPQ，
∴$\frac{ED}{EP}=\frac{DC}{PQ}$，
∴$\frac{\frac{8}{5}}{\frac{8}{5}+x}=\frac{\frac{6}{5}}{PQ}$，即PQ=$\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x$，
∵S_{四邊形PQCD}=S_△EPQ-S_△EDC，
∴y=$\frac{1}{2}$PQ•EP-$\frac{1}{2}$DC•ED=$\frac{1}{2}×（\frac{6}{5}+\frac{3}{4}x）×（\frac{8}{5}+x）$-$\frac{1}{2}×\frac{6}{5}×\frac{8}{5}$=${\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{6}{5}x$，
∴當(dāng)Q點到達B點時，點P在M點處，
由EC=BC，DC∥PQ，
∴DM=ED=$\frac{8}{5}$，
∴自變量x的取值方范圍為：0＜x≤$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．