Question

2．在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD．

（1）如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，由垂徑定理可知AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，根據(jù)翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，可知OE=$\frac{1}{2}$r，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理可得出r的值；
（2）連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到$\widehat{ADC}$所對(duì)的圓周角，然后根據(jù)∠ACD等于$\widehat{ADC}$所對(duì)的圓周角減去$\widehat{CD}$所對(duì)的圓周角，計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E
則AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，
∴OE=$\frac{1}{2}$r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（$\frac{1}{2}$r）²，解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，$\widehat{AC}$所對(duì)的圓周角為∠B，$\widehat{ABC}$所對(duì)的圓周角為∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，翻折的變換的性質(zhì)，以及圓周角定理，（1）作輔助線構(gòu)造出半徑、半弦、弦心距為邊的直角三角形是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等求解是解題的關(guān)鍵．