Question

8．如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG，連結(jié)BE、DG．
（1）求證：BE=DG，BE⊥DG；
（2）連接BD、EG、DE，點(diǎn)M、N、P分別是BD、EG、DE的中點(diǎn)，連接MP，PN，MN，求證：△MPN是等腰直角三角形；
（3）若AB=4，EF=2$\sqrt{2}$，∠DAE=45°，直接寫(xiě)出MN=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△BEA與△DAG全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）利用三角形中位線(xiàn)定理證得△MPN是等腰直角三角形；
（3）過(guò)點(diǎn)G作GH垂直于DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，利用勾股定理得出DG，進(jìn)一步得出PN，利用勾股定理得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵正方形ABCD和正方形AEFG，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAG，
∵在△BEA與△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△DAG（SAS），
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∴∠BOD=∠BAD=90°，
∴BE⊥DG；

（2）證明：如圖，

由三角形中位線(xiàn)定理可得：MP∥BE，MP=$\frac{1}{2}$BE，
PN∥DG，PN=$\frac{1}{2}$DG，
∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，
即△MPN是等腰直角三角形；

（3）解：如圖，

過(guò)點(diǎn)G作GH垂直于DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，
∵∠DAE=45°，∠EAG=90°，
∴∠HAG=45°，
∵EF=2$\sqrt{2}$，
∴AH=HG=2，
∵AB=4，
∴DH=6，
∴DG=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴NP=MP=$\sqrt{10}$，
∴MN=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形和數(shù)據(jù)，靈活作出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題．