Question

16．如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，連接AD，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，且∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先證得△AEF≌△DEB，可證得CD=AF，可證明四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求得∠ADC=90°，AD=CD，可證明四邊形ADCF為正方形．

解答 （1）證明：
∵E為AD中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∴AF=CD，且AF∥CD，
∴四邊形ADCF為平行四邊形
（2）解：四邊形ADCF為正方形，
理由如下：
∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，且AD=CD=BD，
∴∠ADC=90°，
∵四邊形ADCF為平行四邊形，
∴四邊形ADCF為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平行四邊形、正方形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形證得AF=CD是解題的關(guān)鍵．