Question

如圖，C和D分別是⊙O的半徑OA和弦AB上的點(diǎn)，且CD⊥OA，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且ED=EB．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）如圖2，已知AC=2OC，△DEB為等邊三角形，若BE=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：綜合題

分析：（1）連接OB，如圖1所示，由CD與OA垂直，得到∠ACD為直角，進(jìn)而得到兩個(gè)角互余，由OA=OB，ED=EB，利用等邊對(duì)等角分別得到兩對(duì)角相等，等量代換得到OB與BE垂直，由OB為圓的半徑，即可得證；
（2）連接OB，過(guò)O作OF垂直于AB，利用垂徑定理得到F為AB中點(diǎn)，由AC=2OC，設(shè)AC=2k，OC=k，表示出半徑OA=3k，由三角形BDE為等邊三角形，得到三條邊相等，三個(gè)角為60度，得到∠OAF為30度，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出OF，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，由AD+DB表示出AB，進(jìn)而表示出FB，在直角三角形OBF中，利用勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出圓O的半徑．

解答：（1）證明：連接OB，如圖1所示，
∵CD⊥OA，
∴∠ACD=90°，
∴∠OAB+∠ADC=90°，
∵DE=BE，OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO，∠EBD=∠EDB=∠ADC，
∴∠ABO+∠EBD=90°，
即OB⊥BE，
∵OB為半徑，
∴BE與⊙O相切；

（2）解：過(guò)O作OF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，得到F為AB中點(diǎn)，連接OB，如圖2所示，
由AC=2OC，且AC+CO=OA，設(shè)AC=2k，則OC=k，OA=3k，
∵△BDE為等邊三角形，
∴BD=BE=DE=

3

，∠BDE=∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠BAF=30°，AD=

AC

cos30°

=

4 3

3

k，
∴AB=AD+DB=

3

+

4 3

3

k，
∴FB=

1

2

AB=

3

2

+

2 3

3

k，
在Rt△AOF中，∠OAF=30°，
∴OF=

1

2

OA=

3

2

k，
在Rt△BOF中，根據(jù)勾股定理得：OB²=OF²+FB²，
即（3k）²=

9

4

k²+（

3

2

+

2 3

3

k）²，
整理得：（5k-3）（13k+3）=0，
解得：k=

3

5

或k=-

3

13

（舍去），
則圓的半徑為3k=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．